สมบัติและตัวอย่างที่สำคัญของค่าเฉลี่ยสำหรับตัวดำเนินการเชิงบวก, Properties and Examples of Means for Positive Operators

Abstract

          บทความวิชาการนี้นำเสนอสมบัติที่สำคัญและตัวอย่างต่างๆของค่าเฉลี่ยสำหรับตัวดำเนินการเชิงบวกบนปริภูมิฮิลเบิร์ต วิธีการนำเข้าสู่แนวคิดของค่าเฉลี่ยดังกล่าวใช้สัจพจน์ กล่าวคือเราพิจารณาสมบัติต่างๆของค่าเฉลี่ยแบบฉบับ ได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก และค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ในกรณีทั่วไปค่าเฉลี่ยสำหรับตัวดำเนินการเชิงบวกคือการดำเนินการทวิภาคสำหรับตัวดำเนินการเชิงบวกที่สอดคล้องกับสมบัติ  4 อย่างคือ ความเป็นทางเดียว อสมการหม้อแปลงไฟฟ้า ภาวะต่อเนื่องจากข้างบนและสมบัติจุดตรึง ซึ่งเป็นสมบัติเกี่ยวกับอันดับ พีชคณิต และทอพอโลยี ผลที่ตามมาคือค่าเฉลี่ยใดๆจะมีสมบัติเอกพันธ์เชิงบวก ความยืนยงภายใต้สมภาค ความเว้า และสมบัติการอยู่ระหว่าง ทฤษฎีบทสำคัญกล่าวว่ามีการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างค่าเฉลี่ย ฟังก์ชันทางเดียวเชิงตัวดำเนินการและเมเชอร์โบเรล ค่าเฉลี่ยใดๆจะอยู่ในรูปของอินทิกรัลของค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนักเทียบกับเมเชอร์ความน่าจะเป็นโบเรลบน    ตัวอย่างที่สำคัญของค่าเฉลี่ยที่นิยามข้างต้นได้แก่ ค่าเฉลี่ยชัด ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก ค่าเฉลี่ยเสมือนเลขคณิตยกกำลัง ค่าเฉลี่ยลอการิทึม และค่าเฉลี่ยเฮอรัน ยิ่งกว่านั้นผลรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธ์เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งมีผลรวมเป็นหนึ่ง การสลับเปลี่ยน การผูกผัน คู่ และการประกอบของค่าเฉลี่ยใดๆเป็นค่าเฉลี่ยด้วยเช่นกัน         This article reviews significant properties and various examples of means for positive operators on a Hilbert space. We use axiomatic approach for the concept of means. That is, we consider properties of classical means, namely, arithmetic mean, harmonic mean and geometric mean. In general, a mean for positive operators is defined to be a binary operation for such operators having four properties: monotonicity,  transformer inequality, continuity from above and fixed point property; such properties concern algebra, order and topology. It follows that every operator mean satisfies positive homogeneity, congruence invariance, concavity and betweeness property. It is a fundamental that there is a one-to-one correspondence between operator means, operator monotone functions and Borel measures.  Every mean has an integral representation with respect to a probability Borel measure on the unit interval. Practical examples of operator means are trivial means, weighted arithmetic means, weighted harmonic means, weighted geometric means, quasi-arithmetic power means, logarithmic mean and Heron means. Moreover, convex combinations, transposes, adjoints, duals and compositions of means are also means.